Płaski, kulisty czy hiperboliczny kształt naszego Wszechświata?

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-16 16:14

Naszym zdaniem wszechświat jest nieskończony. Dziś wiemy, że Ziemia ma kształt kuli, ale rzadko myślimy o kształcie Wszechświata. W geometrii istnieje wiele trójwymiarowych kształtów jako alternatywy dla „znajomej” nieskończonej przestrzeni. Autorzy wyjaśniają różnicę w najbardziej przystępnej formie.

Patrząc na nocne niebo, wydaje się, że przestrzeń ciągnie się w nieskończoność we wszystkich kierunkach. Tak wyobrażamy sobie Wszechświat - ale nie fakt, że to prawda. W końcu był czas, kiedy wszyscy myśleli, że Ziemia jest płaska: krzywizna powierzchni Ziemi jest niezauważalna, a idea, że Ziemia jest okrągła, wydawała się niezrozumiała.

Dziś wiemy, że Ziemia ma kształt kuli. Ale rzadko myślimy o kształcie wszechświata. Gdy kula zastąpiła płaską ziemię, inne trójwymiarowe formy oferują alternatywy dla „znajomej” nieskończonej przestrzeni.

O kształt wszechświata można zadać dwa pytania - oddzielne, ale powiązane ze sobą. Jedna dotyczy geometrii - drobiazgowych obliczeń kątów i powierzchni. Kolejna dotyczy topologii: jak oddzielne części łączą się w jedną formę.

Dane kosmologiczne sugerują, że widoczna część Wszechświata jest gładka i jednorodna. Lokalna struktura przestrzeni wygląda prawie tak samo w każdym punkcie iw każdym kierunku. Te cechy odpowiadają tylko trzem kształtom geometrycznym - płaskim, kulistym i hiperbolicznym. Przyjrzyjmy się po kolei tym kształtom, kilku rozważaniom topologicznym i wnioskom opartym na danych kosmologicznych.

Płaski wszechświat

W rzeczywistości jest to geometria szkolna. Kąty trójkąta sumują się do 180 stopni, a pole koła to πr2. Najprostszym przykładem płaskiego trójwymiarowego kształtu jest zwykła nieskończona przestrzeń, którą matematycy nazywają euklidesową, ale są też inne płaskie opcje.

Nie jest łatwo wyobrazić sobie te kształty, ale możemy połączyć naszą intuicję, myśląc w dwóch wymiarach zamiast w trzech. Oprócz zwykłej płaszczyzny euklidesowej możemy tworzyć inne płaskie kształty wycinając kawałek płaszczyzny i sklejając jego krawędzie. Załóżmy, że wycinamy prostokątny kawałek papieru i zaklejamy taśmą przeciwległe krawędzie. Jeśli przykleisz górną krawędź do dolnej krawędzi, otrzymasz cylinder.

Możesz też przykleić prawą krawędź do lewej - wtedy dostajemy pączka (matematycy nazywają ten kształt torusem).

Prawdopodobnie sprzeciwisz się: „Coś nie jest bardzo płaskie”. I będziesz miał rację. Trochę oszukiwaliśmy w sprawie płaskiego torusa. Jeśli naprawdę spróbujesz zrobić torus z kawałka papieru w ten sposób, napotkasz pewne trudności. Łatwo jest zrobić cylinder, ale przyklejenie jego końców nie zadziała: papier zgniecie się wzdłuż wewnętrznego kręgu torusa, ale nie wystarczy na zewnętrzny okrąg. Więc musisz wziąć jakiś elastyczny materiał. Ale rozciąganie zmienia długość i kąty, a tym samym całą geometrię.

Niemożliwe jest zbudowanie naprawdę gładkiego fizycznego torusa z płaskiego materiału wewnątrz zwykłej trójwymiarowej przestrzeni bez zniekształcenia geometrii. Pozostaje abstrakcyjne spekulowanie, jak to jest żyć w płaskim torusie.

Wyobraź sobie, że jesteś dwuwymiarową istotą, której wszechświat jest płaskim torusem. Ponieważ kształt tego wszechświata opiera się na płaskiej kartce papieru, wszystkie fakty geometryczne, do których przywykliśmy, pozostają takie same - przynajmniej w ograniczonej skali: kąty trójkąta sumują się do 180 stopni i tak dalej. Ale wraz ze zmianą globalnej topologii poprzez przycinanie i klejenie, życie zmieni się dramatycznie.

Po pierwsze, torus ma proste linie, które zapętlają się i wracają do punktu początkowego.

Na zniekształconym torusie wyglądają na zakrzywione, ale mieszkańcom płaskiego torusa wydają się proste. A ponieważ światło porusza się w linii prostej, jeśli spojrzysz bezpośrednio w dowolnym kierunku, zobaczysz siebie od tyłu.

To tak, jakby na oryginalnej kartce papieru światło przeszło przez ciebie, przeszło do lewej krawędzi, a potem pojawiło się ponownie po prawej, jak w grze wideo.

Oto inny sposób myślenia: ty (lub promień światła) przekraczasz jedną z czterech krawędzi i znajdujesz się w nowym pokoju, ale w rzeczywistości jest to ten sam pokój, tylko z innego punktu widzenia. Wędrując po takim wszechświecie natkniesz się na nieskończoną liczbę kopii oryginalnego pokoju.

Oznacza to, że gdziekolwiek spojrzysz, zabierzesz nieskończoną liczbę kopii siebie. To rodzaj efektu lustra, tylko te kopie nie są dokładnie odbiciami.

Na torusie każdy z nich odpowiada jednej lub drugiej pętli, wzdłuż której światło wraca do ciebie.

W ten sam sposób otrzymujemy płaski trójwymiarowy torus, sklejając przeciwległe ściany sześcianu lub innego pudełka. Nie będziemy w stanie zobrazować tej przestrzeni wewnątrz zwykłej nieskończonej przestrzeni - po prostu nie będzie pasować - ale będziemy mogli abstrakcyjnie spekulować na temat życia w niej.

Jeśli życie w dwuwymiarowym torusie jest jak nieskończona dwuwymiarowa tablica identycznych prostokątnych pomieszczeń, to życie w trójwymiarowym torusie jest jak nieskończona trójwymiarowa tablica identycznych sześciennych pomieszczeń. Ty też zobaczysz nieskończoną liczbę własnych kopii.

Trójwymiarowy torus jest tylko jednym z dziesięciu wariantów skończenie płaskiego świata. Istnieją również nieskończone płaskie światy - na przykład trójwymiarowy odpowiednik nieskończonego cylindra. Każdy z tych światów będzie miał swój własny „pokój śmiechu” z „odbiciami”.

Czy nasz wszechświat może być jedną z form płaskich?

Kiedy patrzymy w kosmos, nie widzimy nieskończonej liczby własnych kopii. Niezależnie od tego, wyeliminowanie płaskich kształtów nie jest łatwe. Po pierwsze, wszystkie mają taką samą geometrię lokalną jak przestrzeń euklidesowa, więc nie będzie można ich odróżnić za pomocą pomiarów lokalnych.

Powiedzmy, że widziałeś nawet swoją własną kopię, ten odległy obraz pokazuje tylko, jak ty (lub twoja galaktyka jako całość) wyglądałeś w odległej przeszłości, ponieważ światło przeszło długą drogę, zanim do ciebie dotarło. Może nawet widzimy własne kopie – ale zmienione nie do poznania. Co więcej, różne kopie znajdują się w różnych odległościach od ciebie, więc nie są do siebie podobne. A poza tym tak daleko, że i tak nic nie zobaczymy.

Aby obejść te trudności, astronomowie zwykle szukają nie kopii siebie, ale powtarzających się cech w najbardziej odległym widzialnym zjawisku - kosmicznym mikrofalowym promieniowaniu tła, które jest reliktem Wielkiego Wybuchu. W praktyce oznacza to poszukiwanie par kół z pasującymi wzorami gorących i zimnych punktów – zakłada się, że są takie same, tylko z różnych stron.

Astronomowie przeprowadzili właśnie takie poszukiwania w 2015 roku dzięki Kosmicznemu Teleskopowi Plancka. Zebrali dane na temat typów zbieżnych okręgów, które spodziewamy się zobaczyć wewnątrz płaskiego torusa 3D lub innego płaskiego kształtu 3D - tak zwanej płyty - ale nic nie znaleźli. Oznacza to, że jeśli żyjemy w torusie, to wydaje się on tak duży, że wszelkie powtarzające się fragmenty leżą poza obserwowalnym wszechświatem.

Kulisty kształt

Bardzo dobrze znamy dwuwymiarowe sfery - to powierzchnia kuli, pomarańczy lub Ziemi. Ale co, jeśli nasz wszechświat jest trójwymiarową sferą?

Narysowanie trójwymiarowej kuli jest trudne, ale łatwo opisać ją prostą analogią. Jeśli dwuwymiarowa sfera jest zbiorem wszystkich punktów w stałej odległości od jakiegoś centralnego punktu w zwykłej trójwymiarowej przestrzeni, trójwymiarowa sfera (lub „trójsfera”) jest zbiorem wszystkich punktów w stałej odległości od pewnego punkt centralny w przestrzeni czterowymiarowej.

Życie w trójsferze bardzo różni się od życia w płaskiej przestrzeni. Aby to zwizualizować, wyobraź sobie, że jesteś dwuwymiarową istotą w dwuwymiarowej sferze. Kula dwuwymiarowa to cały Wszechświat, dlatego nie możesz zobaczyć otaczającej cię trójwymiarowej przestrzeni i nie możesz się do niej dostać. W tym kulistym wszechświecie światło porusza się najkrótszą drogą: po dużych kręgach. Ale te kręgi wydają ci się proste.

Teraz wyobraź sobie, że ty i twój kumpel 2D spędzacie czas na biegunie północnym, a on poszedł na spacer. Oddalając się, na początku będzie stopniowo zmniejszać się w twoim kręgu wzrokowym - jak w zwykłym świecie, choć nie tak szybko, jak jesteśmy do tego przyzwyczajeni. Dzieje się tak, ponieważ wraz z powiększaniem się kręgu wzrokowego twój przyjaciel zajmuje go coraz mniej.

Ale gdy tylko twój przyjaciel przekroczy równik, dzieje się coś dziwnego: zaczyna się powiększać, chociaż w rzeczywistości nadal się oddala. Dzieje się tak, ponieważ procent, jaki zajmują w twoim kręgu wzrokowym, rośnie.

Trzy metry od bieguna południowego twój przyjaciel będzie wyglądał tak, jakby stał trzy metry od ciebie.

Po dotarciu do bieguna południowego całkowicie wypełni cały widoczny horyzont.

A kiedy na biegunie południowym nie ma nikogo, twój horyzont wizualny będzie jeszcze dziwniejszy - to ty. Dzieje się tak, ponieważ emitowane przez ciebie światło rozchodzi się po kuli, aż powróci.

To bezpośrednio wpływa na życie w sferze 3D. Każdy punkt trójkuli ma swoje przeciwieństwo i jeśli jest tam jakiś obiekt, zobaczymy go na całym niebie. Jeśli nic tam nie ma, zobaczymy siebie w tle - jakby nasz wygląd został nałożony na balon, a następnie wywrócony na lewą stronę i napompowany po cały horyzont.

Ale chociaż trisfera jest podstawowym modelem geometrii sferycznej, daleko jej do jedynej możliwej przestrzeni. Tak jak budowaliśmy różne modele płaskie poprzez wycinanie i sklejanie kawałków przestrzeni euklidesowej, tak możemy budować modele sferyczne poprzez sklejanie odpowiednich kawałków trójsfery. Każdy z tych sklejonych kształtów, podobnie jak torus, będzie miał efekt „pokoju śmiechu”, tylko liczba pokoi w kształtach kulistych będzie skończona.

A jeśli nasz wszechświat jest kulisty?

Nawet najbardziej narcystyczni z nas nie postrzegają siebie jako tła zamiast nocnego nieba. Ale, podobnie jak w przypadku płaskiego torusa, to, że czegoś nie widzimy, wcale nie oznacza, że to nie istnieje. Granice sferycznego wszechświata mogą być większe niż granice widzialnego świata, a tło jest po prostu niewidoczne.

Ale w przeciwieństwie do torusa, sferyczny wszechświat można wykryć za pomocą lokalnych pomiarów. Kształty sferyczne różnią się od nieskończonej przestrzeni euklidesowej nie tylko globalną topologią, ale także małą geometrią. Na przykład, ponieważ linie proste w geometrii sferycznej są dużymi okręgami, trójkąty są „pulchne” niż euklidesowe, a suma ich kątów przekracza 180 stopni.

Zasadniczo pomiar kosmicznych trójkątów jest głównym sposobem sprawdzenia, jak zakrzywiony jest wszechświat. Dla każdego gorącego lub zimnego punktu na kosmicznym mikrofalowym tle znane są jego średnica i odległość od Ziemi, tworzących trzy boki trójkąta. Możemy zmierzyć kąt utworzony przez plamę na nocnym niebie - i będzie to jeden z rogów trójkąta. Możemy wtedy sprawdzić, czy kombinacja długości boków i sumy kątów odpowiada geometrii płaskiej, sferycznej lub hiperbolicznej (gdzie suma kątów trójkąta jest mniejsza niż 180 stopni).

Większość tych obliczeń, wraz z innymi pomiarami krzywizny, zakłada, że wszechświat jest albo całkowicie płaski, albo bardzo blisko niego. Jeden z zespołów badawczych zasugerował niedawno, że niektóre dane z 2018 roku z Kosmicznego Teleskopu Plancka przemawiają bardziej na korzyść sferycznego wszechświata, chociaż inni badacze twierdzili, że przedstawione dowody można przypisać błędowi statystycznemu.

Geometria hiperboliczna

W przeciwieństwie do kuli, która zamyka się na sobie, hiperboliczna geometria lub przestrzeń o ujemnej krzywiźnie otwierają się na zewnątrz. Taka jest geometria kapelusza z szerokim rondem, rafy koralowej i siodła. Podstawowym modelem geometrii hiperbolicznej jest przestrzeń nieskończona, podobnie jak płaska euklidesowa. Ale ponieważ hiperboliczny kształt rozszerza się na zewnątrz znacznie szybciej niż płaski, nie ma możliwości dopasowania nawet dwuwymiarowej płaszczyzny hiperbolicznej do zwykłej przestrzeni euklidesowej, jeśli nie chcemy zniekształcić jej geometrii. Istnieje jednak zniekształcony obraz płaszczyzny hiperbolicznej, znanej jako dysk Poincarégo.

Z naszego punktu widzenia trójkąty w pobliżu okręgu granicznego wydają się być znacznie mniejsze niż te w pobliżu środka, ale z punktu widzenia geometrii hiperbolicznej wszystkie trójkąty są takie same. Gdybyśmy spróbowali przedstawić te trójkąty naprawdę tej samej wielkości - być może używając elastycznego materiału i napompowując kolejno każdy trójkąt, przesuwając się od środka na zewnątrz - nasz dysk przypominałby kapelusz z szerokim rondem i uginałby się coraz bardziej. A gdy zbliżysz się do granicy, ta krzywizna wymknie się spod kontroli.

W zwykłej geometrii euklidesowej obwód koła jest wprost proporcjonalny do jego promienia, ale w geometrii hiperbolicznej okrąg rośnie wykładniczo w stosunku do promienia. W pobliżu granicy dysku hiperbolicznego powstaje stos trójkątów

Dzięki tej funkcji matematycy lubią mówić, że łatwo jest zagubić się w przestrzeni hiperbolicznej. Jeśli twój przyjaciel oddali się od ciebie w normalnej przestrzeni euklidesowej, zacznie się oddalać, ale raczej powoli, ponieważ twój krąg wzrokowy nie rośnie tak szybko. W przestrzeni hiperbolicznej twój krąg wzrokowy rozszerza się wykładniczo, więc twój przyjaciel wkrótce skurczy się do nieskończenie małej plamki. Jeśli więc nie podążałeś jego trasą, prawdopodobnie nie znajdziesz go później.

Nawet w geometrii hiperbolicznej suma kątów trójkąta jest mniejsza niż 180 stopni - na przykład suma kątów niektórych trójkątów z mozaiki dysku Poincarégo wynosi tylko 165 stopni.

Ich boki wydają się być pośrednie, ale to dlatego, że patrzymy na geometrię hiperboliczną przez soczewkę zniekształcającą. Dla mieszkańca dysku Poincaré te krzywe są w rzeczywistości liniami prostymi, więc najszybszym sposobem dotarcia z punktu A do punktu B (oba na krawędzi) jest przecięcie do środka.

Istnieje naturalny sposób na stworzenie trójwymiarowego odpowiednika dysku Poincarégo - weź trójwymiarową kulę i wypełnij ją trójwymiarowymi kształtami, które stopniowo zmniejszają się w miarę zbliżania się do kuli granicznej, jak trójkąty na dysku Poincarégo. Podobnie jak w przypadku płaszczyzn i sfer, możemy stworzyć całe mnóstwo innych trójwymiarowych przestrzeni hiperbolicznych, wycinając odpowiednie kawałki trójwymiarowej kuli hiperbolicznej i sklejając jej powierzchnie.

Czy nasz Wszechświat jest hiperboliczny?

Geometria hiperboliczna, ze swoimi wąskimi trójkątami i wykładniczo rosnącymi okręgami, wcale nie przypomina otaczającej nas przestrzeni. Rzeczywiście, jak już zauważyliśmy, większość pomiarów kosmologicznych zmierza w kierunku płaskiego wszechświata.

Nie można jednak wykluczyć, że żyjemy w świecie sferycznym lub hiperbolicznym, ponieważ niewielkie fragmenty obu światów wyglądają niemal płasko. Na przykład suma kątów małych trójkątów w geometrii sferycznej jest tylko nieco większa niż 180 stopni, a w geometrii hiperbolicznej jest tylko nieznacznie mniejsza.

Dlatego starożytni uważali, że Ziemia jest płaska – krzywizny Ziemi nie widać gołym okiem. Im większy kształt sferyczny lub hiperboliczny, tym bardziej płaska jest każda z jego części, dlatego jeśli nasz Wszechświat ma niezwykle duży kształt sferyczny lub hiperboliczny, jego widoczna część jest tak bliska płaskiej, że jej krzywiznę można wykryć tylko za pomocą ultraprecyzyjnych instrumentów. i jeszcze ich nie wymyśliliśmy…