Spisu treści:

Czym są fraktale: piękno matematyki i nieskończoności
Czym są fraktale: piękno matematyki i nieskończoności

Wideo: Czym są fraktale: piękno matematyki i nieskończoności

Wideo: Czym są fraktale: piękno matematyki i nieskończoności
Wideo: (4) Złoto rodzime, prosto ze złożą, przed i po przetopieniu. 2024, Marsz
Anonim

Fraktale są znane od stulecia, zostały dobrze przebadane i mają liczne zastosowania w życiu. Zjawisko to opiera się jednak na bardzo prostym pomyśle: nieskończoną liczbę kształtów, nieskończoną w pięknie i różnorodności, można uzyskać ze stosunkowo prostych konstrukcji za pomocą zaledwie dwóch operacji - kopiowania i skalowania.

Co mają wspólnego drzewo, wybrzeże, chmura czy naczynia krwionośne w naszej dłoni? Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że wszystkie te przedmioty nie mają ze sobą nic wspólnego. Jednak w rzeczywistości istnieje jedna właściwość struktury nieodłącznie związana ze wszystkimi wymienionymi obiektami: są one do siebie podobne. Z gałęzi, a także z pnia drzewa wychodzą mniejsze gałęzie, od nich - jeszcze mniejsze itd., czyli gałąź jest jak całe drzewo.

Podobnie układa się układ krążenia: od tętnic odchodzą tętniczki, a od nich - najmniejsze naczynia włosowate, przez które tlen dostaje się do narządów i tkanek. Spójrzmy na zdjęcia satelitarne wybrzeża morskiego: zobaczymy zatoki i półwyspy; spójrzmy na to, ale z lotu ptaka: zobaczymy zatoki i przylądki; Teraz wyobraźmy sobie, że stoimy na plaży i patrzymy pod nogi: zawsze są kamyki, które wystają do wody dalej niż reszta.

Oznacza to, że linia brzegowa pozostaje podobna do siebie po powiększeniu. Amerykański (choć wychowany we Francji) matematyk Benoit Mandelbrot nazwał tę właściwość obiektów fraktalnością, a same takie obiekty – fraktalami (od łac. fractus – broken).

Fraktale
Fraktale

Czym jest fraktal?

Pojęcie to nie ma ścisłej definicji. Dlatego słowo „fraktal” nie jest terminem matematycznym. Zazwyczaj fraktal to figura geometryczna, która spełnia co najmniej jedną z następujących właściwości: • Ma złożoną strukturę przy dowolnym powiększeniu (w przeciwieństwie do np. linii prostej, której dowolna część jest najprostszą figurą geometryczną - a odcinek). • Jest (w przybliżeniu) samopodobny. • Ma ułamkowy wymiar Hausdorffa (fraktalny), który jest większy niż wymiar topologiczny. • Może być budowany za pomocą procedur rekurencyjnych.

Geometria i Algebra

Badania fraktali na przełomie XIX i XX wieku miały raczej charakter epizodyczny niż systematyczny, ponieważ wcześniejsi matematycy badali głównie „dobre” obiekty, nadające się do badań przy użyciu ogólnych metod i teorii. W 1872 r. niemiecki matematyk Karl Weierstrass konstruuje przykład funkcji ciągłej, która nigdzie nie jest różniczkowalna. Jego konstrukcja była jednak całkowicie abstrakcyjna i trudna do uchwycenia.

Dlatego w 1904 roku Szwed Helge von Koch wynalazł krzywą ciągłą, która nie ma nigdzie stycznej i jest dość prosta do narysowania. Okazało się, że ma właściwości fraktala. Jeden z wariantów tej krzywej nazywa się „płatkiem śniegu Kocha”.

Idee samopodobieństwa postaci podchwycił Francuz Paul Pierre Levy, przyszły mentor Benoita Mandelbrota. W 1938 opublikował artykuł "Płaskie i przestrzenne krzywe i powierzchnie, składające się z części podobnych do całości", w którym opisuje inny fraktal - krzywą C Lévy'ego. Wszystkie powyższe fraktale można warunkowo przypisać jednej klasie konstruktywnych (geometrycznych) fraktali.

Wegetacja
Wegetacja

Inną klasą są fraktale dynamiczne (algebraiczne), do których należy zbiór Mandelbrota. Pierwsze badania w tym kierunku rozpoczęły się na początku XX wieku i są związane z nazwiskami francuskich matematyków Gastona Julii i Pierre'a Fatou. W 1918 roku ukazał się prawie dwustustronicowy pamiętnik Julii poświęcony iteracji złożonych funkcji wymiernych, w którym opisano zbiory Julii - całą rodzinę fraktali blisko spokrewnionych ze zbiorem Mandelbrota. Praca ta została nagrodzona nagrodą Akademii Francuskiej, ale nie zawierała ani jednej ilustracji, więc nie można było docenić piękna odkrytych przedmiotów.

Pomimo tego, że praca ta rozsławiła Julię wśród ówczesnych matematyków, szybko została zapomniana. Dopiero pół wieku później komputery ponownie zwróciły uwagę: to one uwidoczniły bogactwo i piękno świata fraktali.

Wymiary fraktalne

widżet-zainteresowanie
widżet-zainteresowanie

Jak wiadomo, wymiar (liczba pomiarów) figury geometrycznej to liczba współrzędnych potrzebnych do określenia położenia punktu leżącego na tej figurze.

Na przykład położenie punktu na krzywej jest określone przez jedną współrzędną, na powierzchni (niekoniecznie na płaszczyźnie) przez dwie współrzędne, w przestrzeni trójwymiarowej przez trzy współrzędne.

Z bardziej ogólnego matematycznego punktu widzenia wymiar można zdefiniować w ten sposób: zwiększenie wymiarów liniowych, powiedzmy, dwukrotnie, dla obiektów jednowymiarowych (z topologicznego punktu widzenia) (segmentu) prowadzi do zwiększenia rozmiaru (długość) dwukrotnie, dla dwuwymiarowej (kwadratowej) ten sam wzrost wymiarów liniowych prowadzi do 4-krotnego zwiększenia rozmiaru (powierzchni), dla trójwymiarowej (kostka) - 8-krotnie. Oznacza to, że wymiar „rzeczywisty” (tzw. Hausdorffa) można obliczyć jako stosunek logarytmu wzrostu „rozmiaru” obiektu do logarytmu wzrostu jego rozmiaru liniowego. Oznacza to, że dla segmentu D = log (2) / log (2) = 1, dla płaszczyzny D = log (4) / log (2) = 2, dla objętości D = log (8) / log (2) = 3.

Obliczmy teraz wymiar krzywej Kocha, do budowy której odcinek jednostkowy jest podzielony na trzy równe części, a przedział środkowy zastąpiony jest trójkątem równobocznym bez tego odcinka. Przy trzykrotnym wzroście wymiarów liniowych minimalnego segmentu długość krzywej Kocha wzrasta w log (4) / log (3) ~ 1, 26. Oznacza to, że wymiar krzywej Kocha jest ułamkowy!

Nauka i sztuka

W 1982 roku ukazała się książka Mandelbrota „The Fractal Geometry of Nature”, w której autor zebrał i usystematyzował prawie wszystkie dostępne wówczas informacje o fraktalach i przedstawił je w łatwy i przystępny sposób. W swojej prezentacji Mandelbrot położył główny nacisk nie na uciążliwe formuły i konstrukcje matematyczne, ale na geometryczną intuicję czytelników. Dzięki komputerowym ilustracjom i opowieściom historycznym, którymi autor umiejętnie rozmył naukowy komponent monografii, książka stała się bestsellerem, a fraktale stały się znane szerokiej publiczności.

Ich sukces wśród niematematyków w dużej mierze wynika z faktu, że za pomocą bardzo prostych konstrukcji i formuł, które może zrozumieć licealista, uzyskuje się obrazy o niesamowitej złożoności i pięknie. Kiedy komputery osobiste stały się wystarczająco wydajne, pojawił się nawet cały trend w sztuce - malowanie fraktalne i prawie każdy właściciel komputera mógł to zrobić. Teraz w Internecie można łatwo znaleźć wiele stron poświęconych temu tematowi.

Krzywa Kocha
Krzywa Kocha

Wojna i pokój

Jak wspomniano powyżej, jednym z naturalnych obiektów o właściwościach fraktalnych jest linia brzegowa. Wiąże się z nim jedna ciekawa historia, a raczej z próbą zmierzenia jej długości, która stała się podstawą artykułu naukowego Mandelbrota, a także została opisana w jego książce „The Fractal Geometry of Nature”.

To eksperyment, który przeprowadził Lewis Richardson, bardzo utalentowany i ekscentryczny matematyk, fizyk i meteorolog. Jednym z kierunków jego badań była próba znalezienia matematycznego opisu przyczyn i prawdopodobieństwa konfliktu zbrojnego między dwoma krajami. Wśród parametrów, które brał pod uwagę, była długość wspólnej granicy dwóch walczących krajów. Gromadząc dane do eksperymentów numerycznych, odkrył, że w różnych źródłach dane dotyczące wspólnej granicy między Hiszpanią a Portugalią są bardzo różne.

To skłoniło go do odkrycia, że długość granic państwa zależy od władcy, którym je mierzymy. Im mniejsza skala, tym dłuższa granica. Wynika to z faktu, że przy większym powiększeniu możliwe staje się uwzględnienie coraz większej liczby zagięć przybrzeżnych, które wcześniej ignorowano ze względu na chropowatość pomiarów. A jeśli przy każdym wzroście skali otworzą się wcześniej nieuwzględnione zagięcia linii, to okaże się, że długość granic jest nieskończona! To prawda, w rzeczywistości tak się nie dzieje - dokładność naszych pomiarów ma skończoną granicę. Ten paradoks nazywa się efektem Richardsona.

Fraktale
Fraktale

Konstruktywne (geometryczne) fraktale

Algorytm konstruowania konstruktywnego fraktala w ogólnym przypadku jest następujący. Przede wszystkim potrzebujemy dwóch odpowiednich kształtów geometrycznych, nazwijmy je bazą i fragmentem. W pierwszym etapie przedstawiana jest podstawa przyszłego fraktala. Następnie część jego części zostaje zastąpiona fragmentem pobranym w odpowiedniej skali – to pierwsza iteracja konstrukcji. Następnie wynikowa figura ponownie zamienia niektóre części w figury podobne do fragmentu itd. Jeśli będziemy kontynuować ten proces w nieskończoność, to w limicie otrzymamy fraktal.

Rozważmy ten proces na przykładzie krzywej Kocha. Jako podstawę krzywej Kocha możesz wziąć dowolną krzywą (dla „płatka śniegu Kocha” jest to trójkąt). Ale ograniczymy się do najprostszego przypadku - segmentu. Fragment to przerywana linia pokazana u góry na rysunku. Po pierwszej iteracji algorytmu, w tym przypadku, początkowy segment będzie pokrywał się z fragmentem, następnie każdy z jego składowych segmentów zostanie zastąpiony linią przerywaną, podobną do fragmentu, itd. Rysunek przedstawia pierwsze cztery kroki ten proces.

Fraktale
Fraktale

W języku matematyki: fraktale dynamiczne (algebraiczne)

Fraktale tego typu powstają w badaniach nieliniowych układów dynamicznych (stąd nazwa). Zachowanie takiego układu można opisać złożoną funkcją nieliniową (wielomian) f (z). Weź jakiś punkt początkowy z0 na płaszczyźnie zespolonej (patrz pasek boczny). Rozważmy teraz taki nieskończony ciąg liczb na płaszczyźnie zespolonej, z których każda z poniższych jest otrzymana z poprzedniej: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

W zależności od punktu początkowego z0, taki ciąg może zachowywać się różnie: dąży do nieskończoności jako n -> ∞; zbiegają się do jakiegoś punktu końcowego; cyklicznie przyjmuj szereg stałych wartości; możliwe są również bardziej złożone opcje.

Liczby zespolone

Liczba zespolona to liczba składająca się z dwóch części - rzeczywistej i urojonej, czyli sumy formalnej x + iy (tu xiy są liczbami rzeczywistymi). ja jest tzw. jednostka urojona, czyli liczba spełniająca równanie i ^ 2 = -1. Podstawowe operacje matematyczne są zdefiniowane na liczbach zespolonych - dodawanie, mnożenie, dzielenie, odejmowanie (nie jest zdefiniowana tylko operacja porównania). Do wyświetlania liczb zespolonych często używa się reprezentacji geometrycznej - na płaszczyźnie (nazywa się to złożoną), część rzeczywista kładzie się na odciętej, a część urojona na rzędnej, natomiast liczba zespolona będzie odpowiadać punktowi z kartezjańskim współrzędne x i y.

Zatem każdy punkt z płaszczyzny zespolonej ma swój własny charakter zachowania podczas iteracji funkcji f(z), a cała płaszczyzna jest podzielona na części. W tym przypadku punkty leżące na granicach tych części mają następującą właściwość: w przypadku arbitralnie małego przemieszczenia charakter ich zachowania zmienia się gwałtownie (takie punkty nazywane są punktami bifurkacji). Okazuje się więc, że zbiory punktów o jednym określonym typie zachowania, jak również zbiory punktów bifurkacji, często mają własności fraktalne. Są to zbiory Julii dla funkcji f (z).

Rodzina smoków

widżet-zainteresowanie
widżet-zainteresowanie

Zmieniając podstawę i fragment, możesz uzyskać niesamowitą różnorodność konstruktywnych fraktali.

Co więcej, podobne operacje można wykonywać w przestrzeni trójwymiarowej. Przykładami fraktali wolumetrycznych są gąbka Mengera, piramida Sierpińskiego i inne.

Rodzina smoków jest również określana jako konstruktywne fraktale. Czasami nazywa się je imieniem odkrywców „smokami z Highway-Harter” (w swojej formie przypominają chińskie smoki). Istnieje kilka sposobów na wykreślenie tej krzywej. Najprostszy i najbardziej intuicyjny z nich jest taki: należy wziąć odpowiednio długi pasek papieru (im cieńszy papier, tym lepiej) i złożyć go na pół. Następnie ponownie wygnij go dwukrotnie w tym samym kierunku, co za pierwszym razem.

Po kilku powtórzeniach (zwykle po pięciu lub sześciu zagięciach pasek staje się zbyt gruby, aby można go było porządnie zgiąć dalej), należy ponownie odgiąć pasek i spróbować uformować w zagięciach kąty 90˚. Wtedy krzywa smoka wyjdzie z profilu. Oczywiście będzie to tylko przybliżenie, jak wszystkie nasze próby przedstawiania obiektów fraktalnych. Komputer pozwala zobrazować o wiele więcej kroków w tym procesie, a efektem jest bardzo piękna figura.

Nieco inaczej skonstruowany jest zestaw Mandelbrota. Rozważ funkcję fc (z) = z ^ 2 + c, gdzie c jest liczbą zespoloną. Skonstruujmy ciąg tej funkcji z z0 = 0, w zależności od parametru c, może on rozbiegać się w nieskończoność lub pozostać ograniczony. Co więcej, wszystkie wartości c, dla których ta sekwencja jest ograniczona, tworzą zbiór Mandelbrota. Został szczegółowo zbadany przez samego Mandelbrota i innych matematyków, którzy odkryli wiele interesujących właściwości tego zbioru.

Widać, że definicje zbiorów Julii i Mandelbrota są do siebie podobne. W rzeczywistości te dwa zestawy są ściśle powiązane. Mianowicie zbiór Mandelbrota to wszystkie wartości parametru zespolonego c, dla których zbiór Julii fc (z) jest połączony (zbiór nazywany jest połączonym, jeśli nie można go podzielić na dwie rozłączne części, z pewnymi dodatkowymi warunkami).

Fraktale
Fraktale

Fraktale i życie

Dziś teoria fraktali znajduje szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach ludzkiej działalności. Oprócz czysto naukowego obiektu do badań i wspomnianego już malarstwa fraktalowego, fraktale są wykorzystywane w teorii informacji do kompresji danych graficznych (tutaj wykorzystywana jest głównie własność samopodobieństwa fraktali – wszak po to, by zapamiętać mały fragment rysunek i przekształcenia, dzięki którym można uzyskać resztę części, znacznie mniej pamięci niż do przechowywania całego pliku).

Dodając losowe perturbacje do wzorów definiujących fraktal, można uzyskać fraktale stochastyczne, które bardzo przekonująco oddają niektóre realne obiekty - elementy reliefowe, powierzchnię zbiorników wodnych, niektóre rośliny, co z powodzeniem wykorzystuje się w fizyce, geografii i grafice komputerowej do podobieństwo symulowanych obiektów z rzeczywistymi. W elektronice produkowane są anteny o kształcie fraktalnym. Zajmując mało miejsca zapewniają dość wysokiej jakości odbiór sygnału.

Ekonomiści używają fraktali do opisu krzywych kursów walut (właściwość odkryta przez Mandelbrota). Na tym kończy się ta mała wycieczka w niesamowicie piękny i różnorodny świat fraktali.

Zalecana: