Henry Segerman: Materialna harmonia w matematyce

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-16 16:14

Według legendy Pitagoras jako pierwszy odkrył, że dwie równo rozciągnięte struny emitują przyjemny dźwięk, jeśli ich długość jest podawana jako małe liczby całkowite. Od tego czasu fascynuje ludzi tajemnicze powiązanie piękna z matematyką, całkowicie materialna harmonia form, wibracji, symetrii – oraz doskonałe abstrakcje liczb i relacji.

To powiązanie jest efemeryczne, ale namacalne, nie bez powodu artyści od lat posługują się prawami geometrii i inspirują się prawami matematycznymi. Henry Segerman miał trudności z porzuceniem tego źródła idei: w końcu jest matematykiem z powołania i zawodu.

Butelka Kleina „Przyklejając mentalnie krawędzie dwóch pasków Mobiusa”, mówi Henry Segerman, „możesz uzyskać butelkę Kleina, która również ma jedną powierzchnię. Tutaj widzimy butelkę Kleina wykonaną z pasków Mobiusa z zaokrągloną krawędzią.

Raczej jak to może wyglądać w przestrzeni trójwymiarowej. Skoro oryginalne „okrągłe” paski Mobiusa kierują się w nieskończoność, to taka butelka Kleina będzie nadal dwukrotnie przechodzić w nieskończoność i przecinać się, co widać na rzeźbie.” Powiększona kopia tej rzeźby zdobi Wydział Matematyki i Statystyki Uniwersytetu w Melbourne.

Fraktale

„Urodziłem się w rodzinie naukowców i myślę, że jest z tym związane moje zainteresowanie wszystkim, co wymaga zaawansowanego myślenia przestrzennego”, mówi Henry. Dziś jest już absolwentem studiów magisterskich i doktoranckich na Uniwersytecie Stanforda w Oksfordzie oraz zajmuje stanowisko Associate Professora na Uniwersytecie w Oklahomie.

Ale udana kariera naukowa to tylko jedna strona jego wieloaspektowej osobowości: ponad 12 lat temu matematyk zaczął organizować wydarzenia artystyczne… w wirtualnym świecie Second Life.

Ten trójwymiarowy symulator z elementami sieci społecznościowej cieszył się wówczas dużą popularnością, pozwalając użytkownikom nie tylko komunikować się ze sobą, ale także wyposażać swoje wirtualne „awatary” i obszary do rozrywki, pracy itp.

Imię i nazwisko: Henry Segerman

Urodzony w 1979

Edukacja: Uniwersytet Stanforda

Miasto: Stillwater, USA

Motto: "Weź tylko jeden pomysł, ale pokaż go jak najdokładniej."

Segerman przybył tu, uzbrojony we wzory i liczby, i matematycznie uporządkował swój wirtualny świat, wypełniając go niespotykanymi figurami fraktalnymi, spiralami, a nawet teseraktami, czterowymiarowymi hipersześcianami. „Rezultatem jest projekcja czterowymiarowego hipersześcianu w trójwymiarowym wszechświecie Second Life – który sam w sobie jest projekcją trójwymiarowego wirtualnego świata na dwuwymiarowy, płaski ekran” – zauważa artysta.

Krzywa Hilberta: ciągła linia wypełnia przestrzeń sześcianu, nigdy nie przerywając ani nie przecinając się ze sobą.

Krzywe Hilberta to struktury fraktalne, a jeśli przybliżysz, możesz zobaczyć, że części tej krzywej podążają za kształtem całości. „Widziałem je tysiące razy na ilustracjach i modelach komputerowych, ale kiedy po raz pierwszy wziąłem do ręki taką trójwymiarową rzeźbę, od razu zauważyłem, że jest również sprężysta” – mówi Segerman. „Fizyczne ucieleśnienie pojęć matematycznych jest zawsze czymś zaskakujące”.

Jednak o wiele bardziej lubił pracować z rzeźbami materialnymi. „Przez cały czas krążą wokół nas ogromne ilości informacji”, mówi Segerman. - Na szczęście świat rzeczywisty ma bardzo dużą przepustowość, która nie jest jeszcze dostępna w sieci.

Daj osobie gotową rzecz, integralną formę - a od razu ją dostrzeże w całej jej złożoności, nie czekając na załadowanie”. Tak więc od 2009 roku Segerman stworzył nieco ponad sto rzeźb, a każda z nich jest wizualnym i w miarę możliwości dokładnym fizycznym ucieleśnieniem abstrakcyjnych pojęć i praw matematycznych.

Wielościany

Ewolucja artystycznych eksperymentów Segermana z drukiem 3D dziwnie powtarza ewolucję idei matematycznych. Wśród jego pierwszych eksperymentów znalazły się klasyczne bryły platońskie, zestaw pięciu symetrycznych figur, złożonych w regularne trójkąty, pięciokąty i kwadraty. Za nimi pojawiły się wielościany półregularne - 13 brył Archimedesa, których ściany tworzą nierówne wielokąty foremne.

Model 3D Królika Stanforda stworzony w 1994 roku. Składa się z prawie 70 000 trójkątów i służy jako prosty i popularny test wydajności algorytmów oprogramowania. Na przykład na króliku można przetestować wydajność kompresji danych lub wygładzania powierzchni dla grafiki komputerowej.

Dlatego dla specjalistów ta forma jest tożsama z frazą „Zjedz jeszcze trochę tych miękkich francuskich bułeczek” dla tych, którzy lubią bawić się czcionkami komputerowymi. Rzeźba Stanford Bunny to ten sam model, którego powierzchnia jest wyłożona literami słowa króliczek.

Już te proste formy, przenosząc się z dwuwymiarowych ilustracji i idealnego świata wyobraźni do trójwymiarowej rzeczywistości, budzą wewnętrzny podziw dla swojej lakonicznej i doskonałej urody. „Związek między matematycznym pięknem a pięknem wizualnych czy dźwiękowych dzieł sztuki wydaje mi się bardzo kruchy.

W końcu wiele osób jest bardzo świadomych jednej formy tego piękna, zupełnie nie rozumiejąc drugiej. Pomysły matematyczne można przełożyć na formy widzialne lub wokalne, ale nie wszystkie i nie tak łatwo, jak mogłoby się wydawać”- dodaje Segerman.

Wkrótce za postaciami klasycznymi podążały coraz bardziej złożone formy, aż do tych, o których Archimedes czy Pitagoras nie mogli nawet pomyśleć - wielościany regularne, które bez przerwy wypełniają hiperboliczną przestrzeń Łobaczewskiego.

Takich postaci o niesamowitych nazwach, jak „czworościenny plaster miodu klasy 6” lub „sześciokątna mozaika o strukturze plastra miodu”, nie można sobie wyobrazić bez wizualnego obrazu pod ręką. Albo - jedna z rzeźb Segermana, które przedstawiają je w naszej zwykłej trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Bryły platońskie: czworościan, ośmiościan i dwudziestościan złożone w trójkąty foremne oraz sześcian i dwudziestościan złożone z kwadratów opartych na pięciokątach.

Sam Platon kojarzył je z czterema żywiołami: „gładkimi” cząstkami oktaedrycznymi, jego zdaniem, złożonym powietrzem, „płynnymi” dwudziestościanami – wodą, „gęstymi” sześcianami – ziemią oraz ostrymi i „cierniowymi” czworościanami – ogniem. Piąty element, dwunastościan, był uważany przez filozofa za cząstkę świata idei.

Pracę artysty rozpoczyna model 3D, który buduje w profesjonalnym pakiecie Rhinoceros. W zasadzie tak to się kończy: sama produkcja rzeźb, wydrukowanie modelu na drukarce 3D, Henry po prostu zamawia za pośrednictwem Shapeways, dużej społeczności internetowej entuzjastów druku 3D, i otrzymuje gotowy przedmiot wykonany z tworzywa sztucznego lub kompozytów z metalową osnową na bazie stali i brązu. „To bardzo proste”, mówi. „Po prostu przesyłasz model na stronę, klikasz przycisk Dodaj do koszyka, składasz zamówienie, a za kilka tygodni zostanie on dostarczony pocztą”.

Rysunek ósmy Uzupełnienie Wyobraź sobie, że zawiązujesz węzeł wewnątrz bryły, a następnie go zdejmujesz; pozostała wnęka nazywana jest dopełnieniem węzła. Model ten pokazuje dodanie jednego z najprostszych węzłów, ósemki.

piękno

Ostatecznie ewolucja matematycznych rzeźb Segermana prowadzi nas do złożonej i hipnotyzującej dziedziny topologii. Ta gałąź matematyki bada właściwości i deformacje płaskich powierzchni i przestrzeni o różnych wymiarach, a ich szersza charakterystyka jest dla niej istotna niż w przypadku klasycznej geometrii.

Tutaj sześcian można łatwo zamienić w kulkę, niczym plastelinę, a filiżankę z rączką zwinąć w pączek, nie łamiąc w sobie niczego ważnego – dobrze znany przykład ucieleśniony w eleganckim Topologicznym Żarcie Segermana.

Tesseract jest czterowymiarowym sześcianem: tak jak kwadrat można uzyskać, przestawiając prostopadły do niego odcinek na odległość równą jego długości, tak sześcian można uzyskać, kopiując kwadrat w trzech wymiarach w podobny sposób i przesuwając sześcian. w czwartym „narysujemy” tesserakt, czyli hipersześcian. Będzie miał 16 wierzchołków i 24 ściany, których rzuty na naszą trójwymiarową przestrzeń wyglądają trochę jak zwykły trójwymiarowy sześcian.

„W matematyce bardzo ważny jest zmysł estetyczny, matematycy uwielbiają„ piękne”twierdzenia - argumentuje artysta. - Trudno określić, na czym dokładnie polega to piękno, jak zresztą w innych przypadkach. Ale powiedziałbym, że piękno twierdzenia tkwi w jego prostocie, która pozwala coś zrozumieć, zobaczyć kilka prostych połączeń, które wcześniej wydawały się niewiarygodnie złożone.

W sercu matematycznego piękna może leżeć czysty, efektowny minimalizm – i zdziwiony okrzyk „Aha!”. Głębokie piękno matematyki może być równie zniechęcające jak lodowata wieczność pałacu Królowej Śniegu. Jednak cała ta zimna harmonia niezmiennie odzwierciedla wewnętrzny porządek i regularność Wszechświata, w którym żyjemy. Matematyka to tylko język, który bez wątpienia pasuje do tego eleganckiego i złożonego świata.

Paradoksalnie zawiera fizyczne odpowiedniki i zastosowania dla niemal każdego zdania w języku formuł i relacji matematycznych. Nawet najbardziej abstrakcyjne i „sztuczne” konstrukcje prędzej czy później znajdą zastosowanie w realnym świecie.

Żart topologiczny: z pewnego punktu widzenia powierzchnie koła i pączka są „takie same”, a ściślej homeomorficzne, bo potrafią się przemieniać w siebie bez przerw i sklejeń dzięki stopniowa deformacja.

Geometria euklidesowa stała się odzwierciedleniem klasycznego świata stacjonarnego, rachunek różniczkowy przydał się fizyce newtonowskiej. Niesamowita metryka riemannowska, jak się okazało, jest niezbędna do opisania niestabilnego wszechświata Einsteina, a wielowymiarowe przestrzenie hiperboliczne znalazły zastosowanie w teorii strun.

Być może w tej dziwnej zgodności abstrakcyjnych obliczeń i liczb z fundamentami naszej rzeczywistości kryje się sekret piękna, które z konieczności odczuwamy za wszystkimi zimnymi obliczeniami matematyków.